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Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse, qui est le côté opposé à l’angle droit, est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres.

Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si les mathématiciens grecs en connaissaient probablement une démonstration avant Euclide, auteur dans ses Éléments de la plus ancienne qui nous soit parvenue, rien ne permet de l’attribuer à Pythagore.

Par ailleurs le résultat a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures.
Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.

Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface d’une sphère.

Plus généralement, ce théorème a de nombreuses applications dans divers domaines très différents (architecture, ingénierie…), encore aujourd’hui, et a permis nombres d’avancées technologiques à travers l’Histoire.

Le théorème de Pythagore ou égalité de Pythagore

Le théorème de Pythagore, vous le connaissez certainement par cœur, c’est le carré de l » hypoténuse est égale à la somme des longueurs au carré des deux autres cotés !

Et voilà une première erreur, il manque quelque chose, une chose essentielle !

Ce théorème n’est vrai que pour un triangle rectangle !

Alors vous-vous dites, « ce n’est pas bien grave, vous avez juste oublié ça »…et on vous répond que beaucoup d’erreurs d’application du théorème de Pythagore viennent de ce petit oubli !

Un mot n’est pas égal à un autre !

Souvenez-vous que vous ne pouvez appliquer le théorème de Pythagore QUE pour un triangle rectangle !

Autre petit rappel du théorème de Pythagore :

ABC est rectangle en A, donc l’angle A est de 90°

AB et AC sont les cotés adjacents à l’angle droit de 90°

BC est le coté opposé à l’angle droit, on l’appelle aussi l’hypoténuse.

Avant d’utiliser ce théorème de Pythagore, vous devez vous assurez que vous avez un triangle rectangle, et vous devez le justifier soit par l’énoncé, soit par démonstration.

 

A quoi il sert le théorème de Pythagore ?

Mais avant c’est quoi un théorème ? un théorème c’est une proposition énoncée que l’on peut démontrer et qui est valable quelles que soient les valeurs utilisées

Le théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle : l’hypoténuse ² est égale à la somme des deux autres cotés ²

ou le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.

Et la réciproque c’est quoi ?

Voilà un mot que pas du tout compris, et pourtant c’est tout simple, la réciproque va nous permette de démontrer l’inverse !

Alors, apprenons donc que l’on ne parle plus de théorème, ni de réciproque mais d’égalité de Pythagore.

 

La réciproque : Dans un triangle, si le carré du plus grand des cotés (le côté opposé de l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors on peut dire que le triangle est rectangle !

 

Imaginons que l’on dispose du théorème suivant :  » Si on a ‘A’ alors on obtient ‘B’  »

La réciproque de ce théorème serait : Si on a ‘B’ alors on obtient ‘A’  »

 

Attention !!! On ne parle de réciproque d’un théorème que dans le cas où celle-ci est vraie, pas toujours le cas.

Qu’est-ce que la contraposée d’un théorème ?

 

Imaginons que l’on dispose du théorème suivant :  » Si on a ‘A’ alors on obtient ‘B’  »

La contraposée de ce théorème est : Si on n’a pas ‘B’ alors on n’obtient pas ‘A’  »

Contrairement à la réciproque d’un théorème, la contraposée d’un théorème est toujours vraie.

La contraposée du théorème de Pythagore est donc :

Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés

des deux autres autres côtés alors le triangle n’est pas rectangle;

Lorsque l’on connaît le théorème de Pythagore et sa réciproque, on va pouvoir :

  • calculer des longueurs
  • calculer des angles
  • démontrer que le triangle est rectangle

N’oubliez pas si dans votre devoir la question est :

Démontrer que le triangle est rectangle. Calculer la longueur du côté opposé à l’angle droit Vous devez avoir le réflexe d’utiliser le théorème de Pythagore !